समाधान 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 6x^{2}+ax+bx-5 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, सकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान नकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -30 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 7 दिन्छ।

$$a=-3 b=10$$

6x^{2}+7x-5 लाई \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

3x लाई पहिलो र 5 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 2x-1 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 2x-1=0 र 3x+5=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$6x^{2}+7x-5=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 6 ले, b लाई 7 ले र c लाई -5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

7 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-4 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-24 लाई -5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

120 मा 49 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

169 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

2 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-7±13}{12} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 13 मा -7 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{6}{12}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{6}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-7±13}{12} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -7 बाट 13 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{20}{12}$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-20}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$6x^{2}+7x-5=0$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

0 बाट -5 घटाउनुहोस्।

$$6x^{2}+7x=5$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

6 द्वारा भाग गर्नाले 6 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

2 द्वारा \frac{7}{12} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{7}{6} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{7}{12} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{7}{12} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{6} लाई \frac{49}{144} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} गुणनखण्ड साधारणतया, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग हँदा यो \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} को रूपमा सधै गुणनखण्डीत हुन सक्छ।

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{12} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$