समाधान 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 6x^{2}+ax+bx+3 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै सकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 18 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,18 2,9 3,6$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 11 दिन्छ।

$$a=2 b=9$$

6x^{2}+11x+3 लाई \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

2x लाई पहिलो र 3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 3x+1 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 3x+1=0 र 2x+3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$6x^{2}+11x+3=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 6 ले, b लाई 11 ले र c लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

11 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

-4 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

-24 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

-72 मा 121 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

2 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-11±7}{12} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 7 मा -11 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{4}{12}$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-4}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-11±7}{12} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -11 बाट 7 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{18}{12}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-18}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$6x^{2}+11x+3=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

3 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$6x^{2}+11x=-3$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

6 द्वारा भाग गर्नाले 6 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-3}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

2 द्वारा \frac{11}{12} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{11}{6} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{11}{12} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{11}{12} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{2} लाई \frac{121}{144} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

कारक x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{11}{12} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$