समाधान 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-2y=1$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$5x=2y+1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{5} लाई 2y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

\frac{2y+1}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+5y=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

3 लाई \frac{2y+1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

5y मा \frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{31}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

\frac{2}{5} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4+1}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{5} लाई \frac{4}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-6y=3 बाट 15x+25y=65 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-6y-25y=3-65$$

-25y मा -6y जोड्नुहोस्

$$-31y=3-65$$

-65 मा 3 जोड्नुहोस्

$$-31y=-62$$

दुबैतिर -31 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

3x+5y=13 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+5\times 2=13$$

5 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+10=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$3x=3$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=2$$