समाधान 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$5x^{2}+3x+1=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 5 ले, b लाई 3 ले र c लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

-4 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

-20 मा 9 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

-11 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। i\sqrt{11} मा -3 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -3 बाट i\sqrt{11} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$5x^{2}+3x+1=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

1 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$5x^{2}+3x=-1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5 द्वारा भाग गर्नाले 5 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

2 द्वारा \frac{3}{10} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{3}{5} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{3}{10} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{3}{10} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{5} लाई \frac{9}{100} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} गुणनखण्ड साधारणतया, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग हँदा यो \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} को रूपमा सधै गुणनखण्डीत हुन सक्छ।

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{10} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$