समाधान 48x^2+22x-15=0

$$48 { x }^{ 2 } +22x-15=0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 48x^{2}+ax+bx-15 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=22 ab=48\left(-15\right)=-720$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, सकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान नकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -720 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,720 -2,360 -3,240 -4,180 -5,144 -6,120 -8,90 -9,80 -10,72 -12,60 -15,48 -16,45 -18,40 -20,36 -24,30$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1+720=719 -2+360=358 -3+240=237 -4+180=176 -5+144=139 -6+120=114 -8+90=82 -9+80=71 -10+72=62 -12+60=48 -15+48=33 -16+45=29 -18+40=22 -20+36=16 -24+30=6$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 22 दिन्छ।

$$a=-18 b=40$$

48x^{2}+22x-15 लाई \left(48x^{2}-18x\right)+\left(40x-15\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(48x^{2}-18x\right)+\left(40x-15\right)$$

6x लाई पहिलो र 5 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$6x\left(8x-3\right)+5\left(8x-3\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 8x-3 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(8x-3\right)\left(6x+5\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 8x-3=0 र 6x+5=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$48x^{2}+22x-15=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 48 ले, b लाई 22 ले र c लाई -15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 48\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

22 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\times 48\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

-4 लाई 48 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-192\left(-15\right)}}{2\times 48}$$

-192 लाई -15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+2880}}{2\times 48}$$

2880 मा 484 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-22±\sqrt{3364}}{2\times 48}$$

3364 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-22±58}{2\times 48}$$

2 लाई 48 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-22±58}{96}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-22±58}{96} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 58 मा -22 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{36}{96}$$

12 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{36}{96} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3}{8}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-22±58}{96} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -22 बाट 58 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{80}{96}$$

16 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-80}{96} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{5}{6}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$48x^{2}+22x-15=0$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$48x^{2}+22x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$48x^{2}+22x=-\left(-15\right)$$

0 बाट -15 घटाउनुहोस्।

$$48x^{2}+22x=15$$

दुबैतिर 48 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{48x^{2}+22x}{48}=\frac{15}{48}$$

48 द्वारा भाग गर्नाले 48 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{22}{48}x=\frac{15}{48}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{22}{48} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{24}x=\frac{15}{48}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{15}{48} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{24}x=\frac{5}{16}$$

2 द्वारा \frac{11}{48} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{11}{24} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{11}{48} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\left(\frac{11}{48}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(\frac{11}{48}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{11}{48} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}=\frac{5}{16}+\frac{121}{2304}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{16} लाई \frac{121}{2304} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}=\frac{841}{2304}$$

कारक x^{2}+\frac{11}{24}x+\frac{121}{2304}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x+\frac{11}{48}\right)^{2}=\frac{841}{2304}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{2304}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{11}{48}=\frac{29}{48} x+\frac{11}{48}=-\frac{29}{48}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{11}{48} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3}{8} x=-\frac{5}{6}$$