समाधान 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 42x^{2}+ax+bx-3 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -126 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -5 दिन्छ।

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 लाई \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

14x लाई पहिलो र 3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 3x-1 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 3x-1=0 र 14x+3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$42x^{2}-5x-3=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 42 ले, b लाई -5 ले र c लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4 लाई 42 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168 लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

504 मा 25 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 विपरीत 5हो।

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2 लाई 42 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5±23}{84}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{5±23}{84} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 23 मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{28}{84}$$

28 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{28}{84} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{5±23}{84} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 5 बाट 23 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{18}{84}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-18}{84} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{3}{14}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$42x^{2}-5x-3=0$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0 बाट -3 घटाउनुहोस्।

$$42x^{2}-5x=3$$

दुबैतिर 42 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 द्वारा भाग गर्नाले 42 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{3}{42} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

2 द्वारा -\frac{5}{84} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{5}{42} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{5}{84} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{5}{84} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{14} लाई \frac{25}{7056} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

कारक x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{84} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$