समाधान 4y^2-13y+9=0

$$4 y ^ { 2 } - 13 y + 9 = 0$$

y को लागि हल गर्नुहोस्

$$y=1$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 4y^{2}+ay+by+9 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-13 ab=4\times 9=36$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै नकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 36 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -13 दिन्छ।

$$a=-9 b=-4$$

4y^{2}-13y+9 लाई \left(4y^{2}-9y\right)+\left(-4y+9\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(4y^{2}-9y\right)+\left(-4y+9\right)$$

y लाई पहिलो र -1 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$y\left(4y-9\right)-\left(4y-9\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 4y-9 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(4y-9\right)\left(y-1\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 4y-9=0 र y-1=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{4} y=1$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$4y^{2}-13y+9=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 4 ले, b लाई -13 ले र c लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-13 वर्ग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-144}}{2\times 4}$$

-144 मा 169 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

25 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-13\right)±5}{2\times 4}$$

-13 विपरीत 13हो।

$$y=\frac{13±5}{2\times 4}$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{13±5}{8}$$

अब ± प्लस मानेर y=\frac{13±5}{8} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 5 मा 13 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{18}{8}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{18}{8} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{9}{4}$$

अब ± माइनस मानेर y=\frac{13±5}{8} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 13 बाट 5 घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{8}{8}$$

8 लाई 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$y=\frac{9}{4} y=1$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$4y^{2}-13y+9=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$4y^{2}-13y+9-9=-9$$

9 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$4y^{2}-13y=-9$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{4y^{2}-13y}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 द्वारा भाग गर्नाले 4 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$y^{2}-\frac{13}{4}y=-\frac{9}{4}$$

2 द्वारा -\frac{13}{8} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{13}{4} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{13}{8} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$y^{2}-\frac{13}{4}y+\left(-\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{13}{8}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{13}{8} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$y^{2}-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}=-\frac{9}{4}+\frac{169}{64}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{9}{4} लाई \frac{169}{64} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y^{2}-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}=\frac{25}{64}$$

कारक y^{2}-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(y-\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$y-\frac{13}{8}=\frac{5}{8} y-\frac{13}{8}=-\frac{5}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{8} जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{4} y=1$$