समाधान 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 4x^{2}+ax+bx-27 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -108 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -12 दिन्छ।

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27 लाई \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

2x लाई पहिलो र 3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 2x-9 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 2x-9=0 र 2x+3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$4x^{2}-12x-27=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 4 ले, b लाई -12 ले र c लाई -27 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-4 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-16 लाई -27 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

432 मा 144 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 विपरीत 12हो।

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{12±24}{8}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{12±24}{8} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 24 मा 12 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{36}{8}$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{36}{8} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{9}{2}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{12±24}{8} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 12 बाट 24 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{12}{8}$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-12}{8} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$4x^{2}-12x-27=0$$

समीकरणको दुबैतिर 27 जोड्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

0 बाट -27 घटाउनुहोस्।

$$4x^{2}-12x=27$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4 द्वारा भाग गर्नाले 4 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 लाई 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

2 द्वारा -\frac{3}{2} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -3 ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{3}{2} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{3}{2} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{27}{4} लाई \frac{9}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

कारक x^{2}-3x+\frac{9}{4}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$