समाधान 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n को लागि हल गर्नुहोस्

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

दुवै छेउबाट 11 घटाउनुहोस्।

$$4n^{2}-7n-11=0$$

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 4n^{2}+an+bn-11 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -44 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -7 दिन्छ।

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 लाई \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n मा n खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 4n-11 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 4n-11=0 र n+1=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$4n^{2}-7n=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 11 घटाउनुहोस्।

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$4n^{2}-7n-11=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 4 ले, b लाई -7 ले र c लाई -11 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 वर्ग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 लाई -11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

176 मा 49 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 विपरीत 7हो।

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{7±15}{8}$$

अब ± प्लस मानेर n=\frac{7±15}{8} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 15 मा 7 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{22}{8}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{22}{8} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$n=\frac{11}{4}$$

अब ± माइनस मानेर n=\frac{7±15}{8} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 7 बाट 15 घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 लाई 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-1$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$4n^{2}-7n=11$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 द्वारा भाग गर्नाले 4 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

2 द्वारा -\frac{7}{8} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{7}{4} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{7}{8} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{7}{8} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{4} लाई \frac{49}{64} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} गुणनखण्ड साधारणतया, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग हँदा यो \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} को रूपमा सधै गुणनखण्डीत हुन सक्छ।

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{8} जोड्नुहोस्।

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$