समाधान 3x^2-3x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}\approx 1.263762616$$

$$x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}\approx -0.263762616$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$3x^{2}-3x-1=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 3 ले, b लाई -3 ले र c लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-3 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+12}}{2\times 3}$$

12 मा 9 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{21}}{2\times 3}$$

-3 विपरीत 3हो।

$$x=\frac{3±\sqrt{21}}{2\times 3}$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3±\sqrt{21}}{6}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{3±\sqrt{21}}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। \sqrt{21} मा 3 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{6}$$

3+\sqrt{21} लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{3±\sqrt{21}}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 3 बाट \sqrt{21} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{6}$$

3-\sqrt{21} लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$3x^{2}-3x-1=0$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$3x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

0 बाट -1 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-3x=1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{3x^{2}-3x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 द्वारा भाग गर्नाले 3 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{3}\right)x=\frac{1}{3}$$

-3 लाई 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-x=\frac{1}{3}$$

2 द्वारा -\frac{1}{2} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -1 ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{1}{2} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{1}{2} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{3} लाई \frac{1}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$$

कारक x^{2}-x+\frac{1}{4}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{12}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}}{6} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{6}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{2} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{1}{2}$$