समाधान 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n को लागि हल गर्नुहोस्

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 3n^{2}+an+bn-15 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -45 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -4 दिन्छ।

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 लाई \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

3n लाई पहिलो र 5 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म n-3 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, n-3=0 र 3n+5=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$3n^{2}-4n-15=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 3 ले, b लाई -4 ले र c लाई -15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 वर्ग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 लाई -15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

180 मा 16 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 विपरीत 4हो।

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{4±14}{6}$$

अब ± प्लस मानेर n=\frac{4±14}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 14 मा 4 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{18}{6}$$

18 लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=3$$

अब ± माइनस मानेर n=\frac{4±14}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 4 बाट 14 घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-10}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{5}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$3n^{2}-4n-15=0$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

0 बाट -15 घटाउनुहोस्।

$$3n^{2}-4n=15$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 द्वारा भाग गर्नाले 3 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 लाई 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

2 द्वारा -\frac{2}{3} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{4}{3} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{2}{3} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{2}{3} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

\frac{4}{9} मा 5 जोड्नुहोस्

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} गुणनखण्ड साधारणतया, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग हँदा यो \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} को रूपमा सधै गुणनखण्डीत हुन सक्छ।

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{3} जोड्नुहोस्।

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$