समाधान 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 3x^{2}+ax+bx-60 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -180 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -31 दिन्छ।

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 लाई \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

3x लाई पहिलो र 5 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म x-12 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, x-12=0 र 3x+5=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$3x^{2}-31x-60=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 3 ले, b लाई -31 ले र c लाई -60 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 लाई -60 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

720 मा 961 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 विपरीत 31हो।

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{31±41}{6}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{31±41}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 41 मा 31 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{72}{6}$$

72 लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=12$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{31±41}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 31 बाट 41 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-10}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$3x^{2}-31x-60=0$$

समीकरणको दुबैतिर 60 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

0 बाट -60 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-31x=60$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 द्वारा भाग गर्नाले 3 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 लाई 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

2 द्वारा -\frac{31}{6} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{31}{3} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{31}{6} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{31}{6} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

\frac{961}{36} मा 20 जोड्नुहोस्

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

कारक x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{31}{6} जोड्नुहोस्।

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$