समाधान 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 18x^{2}+ax+bx-5 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -90 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -9 दिन्छ।

$$a=-15 b=6$$

18x^{2}-9x-5 लाई \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

18x^{2}-15x मा 3x खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 6x-5 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 6x-5=0 र 3x+1=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$18x^{2}-9x-5=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 18 ले, b लाई -9 ले र c लाई -5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-9 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-4 लाई 18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-72 लाई -5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

360 मा 81 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 विपरीत 9हो।

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

2 लाई 18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9±21}{36}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{9±21}{36} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 21 मा 9 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{30}{36}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{30}{36} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{5}{6}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{9±21}{36} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 9 बाट 21 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{12}{36}$$

12 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-12}{36} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$18x^{2}-9x-5=0$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

0 बाट -5 घटाउनुहोस्।

$$18x^{2}-9x=5$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18 द्वारा भाग गर्नाले 18 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

9 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-9}{18} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

2 द्वारा -\frac{1}{4} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{1}{2} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{1}{4} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{1}{4} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{18} लाई \frac{1}{16} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} गुणनखण्ड साधारणतया, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग हँदा यो \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} को रूपमा सधै गुणनखण्डीत हुन सक्छ।

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{4} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$