समाधान 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 15x^{2}+ax+bx+2 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै सकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 30 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 11 दिन्छ।

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 लाई \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

5x लाई पहिलो र 2 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 3x+1 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 3x+1=0 र 5x+2=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$15x^{2}+11x+2=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 15 ले, b लाई 11 ले र c लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 लाई 15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

-120 मा 121 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 लाई 15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-11±1}{30} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 1 मा -11 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{10}{30}$$

10 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-10}{30} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-11±1}{30} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -11 बाट 1 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{12}{30}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-12}{30} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{2}{5}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$15x^{2}+11x+2=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$15x^{2}+11x=-2$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 द्वारा भाग गर्नाले 15 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

2 द्वारा \frac{11}{30} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{11}{15} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{11}{30} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{11}{30} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{2}{15} लाई \frac{121}{900} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

कारक x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{11}{30} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$