समाधान 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 14x^{2}+ax+bx-15 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -210 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -29 दिन्छ।

$$a=-35 b=6$$

14x^{2}-29x-15 लाई \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

7x लाई पहिलो र 3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 2x-5 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 2x-5=0 र 7x+3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$14x^{2}-29x-15=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 14 ले, b लाई -29 ले र c लाई -15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-29 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-4 लाई 14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-56 लाई -15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

840 मा 841 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

1681 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

-29 विपरीत 29हो।

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

2 लाई 14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{29±41}{28}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{29±41}{28} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 41 मा 29 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{70}{28}$$

14 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{70}{28} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{5}{2}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{29±41}{28} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 29 बाट 41 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{12}{28}$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-12}{28} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{3}{7}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$14x^{2}-29x-15=0$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

0 बाट -15 घटाउनुहोस्।

$$14x^{2}-29x=15$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

14 द्वारा भाग गर्नाले 14 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

2 द्वारा -\frac{29}{28} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{29}{14} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{29}{28} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{29}{28} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{15}{14} लाई \frac{841}{784} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

कारक x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{29}{28} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$