समाधान 12x^2+11x-15=0

$$12 x ^ { 2 } + 11 x - 15 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 12x^{2}+ax+bx-15 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, सकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान नकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -180 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 11 दिन्छ।

$$a=-9 b=20$$

12x^{2}+11x-15 लाई \left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right)$$

3x लाई पहिलो र 5 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$3x\left(4x-3\right)+5\left(4x-3\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 4x-3 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(4x-3\right)\left(3x+5\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 4x-3=0 र 3x+5=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$12x^{2}+11x-15=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 12 ले, b लाई 11 ले र c लाई -15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

11 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 लाई -15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720 मा 121 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

2 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-11±29}{24}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-11±29}{24} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 29 मा -11 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{18}{24}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{18}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-11±29}{24} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -11 बाट 29 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{40}{24}$$

8 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-40}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$12x^{2}+11x-15=0$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$12x^{2}+11x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$12x^{2}+11x=-\left(-15\right)$$

0 बाट -15 घटाउनुहोस्।

$$12x^{2}+11x=15$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{12x^{2}+11x}{12}=\frac{15}{12}$$

12 द्वारा भाग गर्नाले 12 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{15}{12}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{15}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{5}{4}$$

2 द्वारा \frac{11}{24} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{11}{12} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{11}{24} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{11}{24} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई \frac{121}{576} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

कारक x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{11}{24}=\frac{29}{24} x+\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{11}{24} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$