समाधान 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r को लागि हल गर्नुहोस्

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 12r^{2}+ar+br-15 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -180 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -11 दिन्छ।

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15 लाई \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

4r लाई पहिलो र 3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 3r-5 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 3r-5=0 र 4r+3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$12r^{2}-11r-15=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 12 ले, b लाई -11 ले र c लाई -15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 वर्ग गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 लाई -15 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720 मा 121 जोड्नुहोस्

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 विपरीत 11हो।

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{11±29}{24}$$

अब ± प्लस मानेर r=\frac{11±29}{24} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 29 मा 11 जोड्नुहोस्

$$r=\frac{40}{24}$$

8 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{40}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$r=\frac{5}{3}$$

अब ± माइनस मानेर r=\frac{11±29}{24} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 11 बाट 29 घटाउनुहोस्।

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-18}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$r=-\frac{3}{4}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$12r^{2}-11r-15=0$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

0 बाट -15 घटाउनुहोस्।

$$12r^{2}-11r=15$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 द्वारा भाग गर्नाले 12 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{15}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

2 द्वारा -\frac{11}{24} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{11}{12} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{11}{24} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{11}{24} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई \frac{121}{576} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

कारक r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{24} जोड्नुहोस्।

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$