समाधान 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 12x^{2}+ax+bx+3 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै सकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 36 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 13 दिन्छ।

$$a=4 b=9$$

12x^{2}+13x+3 लाई \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

4x लाई पहिलो र 3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 3x+1 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 3x+1=0 र 4x+3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$12x^{2}+13x+3=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 12 ले, b लाई 13 ले र c लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

13 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

-4 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

-48 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

-144 मा 169 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

25 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

2 लाई 12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-13±5}{24} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 5 मा -13 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{8}{24}$$

8 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-8}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-13±5}{24} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -13 बाट 5 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{18}{24}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-18}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$12x^{2}+13x+3=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

3 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$12x^{2}+13x=-3$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12 द्वारा भाग गर्नाले 12 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-3}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

2 द्वारा \frac{13}{24} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{13}{12} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{13}{24} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{13}{24} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{4} लाई \frac{169}{576} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

कारक x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{13}{24} घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$