समाधान (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

\left(2x-3\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} प्राप्त गर्नको लागि 4x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x प्राप्त गर्नको लागि -12x र -10x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि 25 बाट 9 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

दुबै छेउहरूमा 23 थप्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7 प्राप्त गर्नको लागि -16 र 23 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x+7=0$$

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 3x^{2}+ax+bx+7 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै नकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 21 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,-21 -3,-7$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -22 दिन्छ।

$$a=-21 b=-1$$

3x^{2}-22x+7 लाई \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

3x लाई पहिलो र -1 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म x-7 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, x-7=0 र 3x-1=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

\left(2x-3\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} प्राप्त गर्नको लागि 4x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x प्राप्त गर्नको लागि -12x र -10x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि 25 बाट 9 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

दुबै छेउहरूमा 23 थप्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7 प्राप्त गर्नको लागि -16 र 23 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x+7=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 3 ले, b लाई -22 ले र c लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-22 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

-84 मा 484 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

400 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 विपरीत 22हो।

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{22±20}{6}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{22±20}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 20 मा 22 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{42}{6}$$

42 लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{22±20}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 22 बाट 20 घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{2}{6}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{2}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

\left(2x-3\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} प्राप्त गर्नको लागि 4x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x प्राप्त गर्नको लागि -12x र -10x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि 25 बाट 9 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

दुबै छेउहरूमा 16 थप्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

-7 प्राप्त गर्नको लागि -23 र 16 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-22x=-7$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 द्वारा भाग गर्नाले 3 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

2 द्वारा -\frac{11}{3} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{22}{3} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{11}{3} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{11}{3} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{7}{3} लाई \frac{121}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

कारक x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{3} जोड्नुहोस्।

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$