समाधान left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

x को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0.333333333+1.490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.490711985i$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

\left(2x-3\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

\left(x-5\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

3x^{2} प्राप्त गर्नको लागि 4x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

-2x प्राप्त गर्नको लागि -12x र 10x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि 25 बाट 9 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

दुबै छेउहरूमा 23 थप्नुहोस्।

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

7 प्राप्त गर्नको लागि -16 र 23 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-2x+7=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 3 ले, b लाई -2 ले र c लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-2 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

-84 मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

-80 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

-2 विपरीत 2हो।

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 4i\sqrt{5} मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

2+4i\sqrt{5} लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 2 बाट 4i\sqrt{5} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

2-4i\sqrt{5} लाई 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

\left(2x-3\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

\left(x-5\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

3x^{2} प्राप्त गर्नको लागि 4x^{2} र -x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

-2x प्राप्त गर्नको लागि -12x र 10x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

-16 प्राप्त गर्नको लागि 25 बाट 9 घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

दुबै छेउहरूमा 16 थप्नुहोस्।

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

-7 प्राप्त गर्नको लागि -23 र 16 जोड्नुहोस्।

$$3x^{2}-2x=-7$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 द्वारा भाग गर्नाले 3 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

2 द्वारा -\frac{1}{3} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{2}{3} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{1}{3} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{1}{3} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{7}{3} लाई \frac{1}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

कारक x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{3} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$