समाधान {r}{x^2+y^2=1}{2x-y=3}

$$\left.\begin{array} { r } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { 2 x - y = 3 } \end{array} \right\}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$x=\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i=1.2-0.4i\text{, }y=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i=-0.6-0.8i$$

$$x=\frac{6}{5}+\frac{2}{5}i=1.2+0.4i\text{, }y=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i=-0.6+0.8i$$

प्रतिस्थापन र वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

बराबर चिन्हको बायाँतिर हरेको x लाई अलग गरी 2x-y=3 लाई x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-y=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट -y घटाउनुहोस्।

$$2x=y+3$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} लाई x ले अर्को समीकरण y^{2}+x^{2}=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y^{2}+\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)^{2}=1$$

\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} वर्ग गर्नुहोस्।

$$y^{2}+\frac{1}{4}y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}=1$$

\frac{1}{4}y^{2} मा y^{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{4}y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{4}y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{5}{4}=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1+1\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} ले, b लाई 1\times \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}\times 2 ले र c लाई \frac{5}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5}{4}\times \frac{5}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

1\times \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}\times 2 वर्ग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times \frac{5}{4}\times \frac{5}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

-4 लाई 1+1\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-5\times \frac{5}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

-5 लाई \frac{5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9-25}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{4} लाई -\frac{25}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{-4}}{2\times \frac{5}{4}}$$

-4 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±2i}{2\times \frac{5}{4}}$$

2 लाई 1+1\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±2i}{\frac{5}{2}}$$

अब ± प्लस मानेर y=\frac{-\frac{3}{2}±2i}{\frac{5}{2}} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 2i मा -\frac{3}{2} जोड्नुहोस्

$$y=\frac{-\frac{3}{2}+2i}{\frac{5}{2}}$$

\frac{5}{2} को उल्टोले -\frac{3}{2}+2i लाई गुणन गरी -\frac{3}{2}+2i लाई \frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$$

अब ± माइनस मानेर y=\frac{-\frac{3}{2}±2i}{\frac{5}{2}} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -\frac{3}{2} बाट 2i घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}-2i}{\frac{5}{2}}$$

\frac{5}{2} को उल्टोले -\frac{3}{2}-2i लाई गुणन गरी -\frac{3}{2}-2i लाई \frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

y: -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i र -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i का दुईवटा समाधानहरु छन्। दुबै समीकरणहरूलाई समाधान गर्ने समीकरण x को लागि सँगैको समाधान पत्ता लगाउन समीकरण x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मा -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i लाई y ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} लाई -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{2}{5}i+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} मा \left(-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)\times \frac{1}{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{6}{5}+\frac{2}{5}i$$

अब समीकरण x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मा y लाई -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र दुबै समीकरणहरूमा मिल्ने x को समाधान निकाल्न हल गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\right)+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} लाई -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{10}-\frac{2}{5}i+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} मा \left(-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\right)\times \frac{1}{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{6}{5}+\frac{2}{5}i,y=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\text{ or }x=\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i,y=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$