समाधान {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=-8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$27+4y=-4x+3$$

दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$27+4y+4x=3$$

दुवै छेउबाट 27 घटाउनुहोस्।

$$4y+4x=3-27$$

-24 प्राप्त गर्नको लागि 27 बाट 3 घटाउनुहोस्।

$$4y+4x=-24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$8x+3y=-8$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4y+4x=-24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$4y=-4x-24$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

\frac{1}{4} लाई -4x-24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-x-6$$

-x-6 लाई y ले अर्को समीकरण 3y+8x=-8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

3 लाई -x-6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-18+8x=-8$$

8x मा -3x जोड्नुहोस्

$$5x-18=-8$$

समीकरणको दुबैतिर 18 जोड्नुहोस्।

$$5x=10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

y=-x-6 मा x लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-2-6$$

-2 मा -6 जोड्नुहोस्

$$y=-8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-8,x=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$27+4y=-4x+3$$

दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$27+4y+4x=3$$

दुवै छेउबाट 27 घटाउनुहोस्।

$$4y+4x=3-27$$

-24 प्राप्त गर्नको लागि 27 बाट 3 घटाउनुहोस्।

$$4y+4x=-24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$8x+3y=-8$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-8,x=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$27+4y=-4x+3$$

दुबै छेउहरूमा 4x थप्नुहोस्।

$$27+4y+4x=3$$

दुवै छेउबाट 27 घटाउनुहोस्।

$$4y+4x=3-27$$

-24 प्राप्त गर्नको लागि 27 बाट 3 घटाउनुहोस्।

$$4y+4x=-24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3y थप्नुहोस्।

$$8x+3y=-8$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y र 3y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12y+12x=-72 बाट 12y+32x=-32 घटाउनुहोस्।

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

-12y मा 12y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12y र -12y राशी रद्द हुन्छन्।

$$12x-32x=-72+32$$

-32x मा 12x जोड्नुहोस्

$$-20x=-72+32$$

32 मा -72 जोड्नुहोस्

$$-20x=-40$$

दुबैतिर -20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

3y+8x=-8 मा x लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3y+8\times 2=-8$$

8 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3y+16=-8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16 घटाउनुहोस्।

$$3y=-24$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-8,x=2$$