समाधान {l}{y=2x-12}{-3x+5y=-25}

$$\left. \begin{array}{l}{ y = 2 x - 12 }\\{ - 3 x + 5 y = - 25 }\end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-12$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-2x=-12,5y-3x=-25$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-2x=-12$$

समीकरणको दुबैतिर 2x जोड्नुहोस्।

$$y=2x-12$$

-12+2x लाई y ले अर्को समीकरण 5y-3x=-25 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(2x-12\right)-3x=-25$$

5 लाई -12+2x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$10x-60-3x=-25$$

-3x मा 10x जोड्नुहोस्

$$7x-60=-25$$

समीकरणको दुबैतिर 60 जोड्नुहोस्।

$$7x=35$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=5$$

y=2x-12 मा x लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=2\times 5-12$$

2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=10-12$$

10 मा -12 जोड्नुहोस्

$$y=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-2,x=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-12$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-2x=-12,5y-3x=-25$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-25\right)\\-\frac{5}{7}\left(-12\right)+\frac{1}{7}\left(-25\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-2,x=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-12$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-2x=-12,5y-3x=-25$$

y र 5y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+5\left(-2\right)x=5\left(-12\right),5y-3x=-25$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5y-10x=-60,5y-3x=-25$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5y-10x=-60 बाट 5y-3x=-25 घटाउनुहोस्।

$$5y-5y-10x+3x=-60+25$$

-5y मा 5y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5y र -5y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-10x+3x=-60+25$$

3x मा -10x जोड्नुहोस्

$$-7x=-60+25$$

25 मा -60 जोड्नुहोस्

$$-7x=-35$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=5$$

5y-3x=-25 मा x लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5y-3\times 5=-25$$

-3 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y-15=-25$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$5y=-10$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-2,x=5$$