समाधान {l}{x+y=64}{-0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ - 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{1645}{38} = 43\frac{11}{38} \approx 43.289473684$$

$$y = \frac{787}{38} = 20\frac{27}{38} \approx 20.710526316$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=64$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+64$$

-y+64 लाई x ले अर्को समीकरण -0.12x+0.26y=0.19 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

-0.12 लाई -y+64 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$0.12y-7.68+0.26y=0.19$$

\frac{13y}{50} मा \frac{3y}{25} जोड्नुहोस्

$$0.38y-7.68=0.19$$

समीकरणको दुबैतिर 7.68 जोड्नुहोस्।

$$0.38y=7.87$$

समीकरणको दुबैतिर 0.38 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{787}{38}$$

x=-y+64 मा y लाई \frac{787}{38} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{787}{38}+64$$

-\frac{787}{38} मा 64 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{1645}{38}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-\left(-0.12\right)}&-\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\\-\frac{-0.12}{0.26-\left(-0.12\right)}&\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{50}{19}\\\frac{6}{19}&\frac{50}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64-\frac{50}{19}\times 0.19\\\frac{6}{19}\times 64+\frac{50}{19}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1645}{38}\\\frac{787}{38}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

x र -\frac{3x}{25} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -0.12 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-0.12x-0.12y=-0.12\times 64,-0.12x+0.26y=0.19$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-0.12x-0.12y=-7.68,-0.12x+0.26y=0.19$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -0.12x-0.12y=-7.68 बाट -0.12x+0.26y=0.19 घटाउनुहोस्।

$$-0.12x+0.12x-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

\frac{3x}{25} मा -\frac{3x}{25} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{3x}{25} र \frac{3x}{25} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

-\frac{13y}{50} मा -\frac{3y}{25} जोड्नुहोस्

$$-0.38y=-7.68-0.19$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -7.68 लाई -0.19 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$-0.38y=-7.87$$

समीकरणको दुबैतिर -0.38 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{787}{38}$$

-0.12x+0.26y=0.19 मा y लाई \frac{787}{38} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-0.12x+0.26\times \frac{787}{38}=0.19$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.26 लाई \frac{787}{38} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$-0.12x+\frac{10231}{1900}=0.19$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{10231}{1900} घटाउनुहोस्।

$$-0.12x=-\frac{987}{190}$$

समीकरणको दुबैतिर -0.12 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{1645}{38}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$