समाधान {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई 1+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=3+3y+1$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 3 र 1 जोड्नुहोस्।

$$x+2y=4+3y$$

दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x+2y-3y=4$$

-y प्राप्त गर्नको लागि 2y र -3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x-y=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8-y=2-2y+3x$$

दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$8-y+2y=2+3x$$

y प्राप्त गर्नको लागि -y र 2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$8+y=2+3x$$

दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$8+y-3x=2$$

दुवै छेउबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=2-8$$

-6 प्राप्त गर्नको लागि 8 बाट 2 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=-6$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-y=4$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$x=y+4$$

y+4 लाई x ले अर्को समीकरण -3x+y=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

-3 लाई y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y-12+y=-6$$

y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-2y-12=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$-2y=6$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-3$$

x=y+4 मा y लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-3+4$$

-3 मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई 1+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=3+3y+1$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 3 र 1 जोड्नुहोस्।

$$x+2y=4+3y$$

दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x+2y-3y=4$$

-y प्राप्त गर्नको लागि 2y र -3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x-y=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8-y=2-2y+3x$$

दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$8-y+2y=2+3x$$

y प्राप्त गर्नको लागि -y र 2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$8+y=2+3x$$

दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$8+y-3x=2$$

दुवै छेउबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=2-8$$

-6 प्राप्त गर्नको लागि 8 बाट 2 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=-6$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 3 लाई 1+y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=3+3y+1$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 3 र 1 जोड्नुहोस्।

$$x+2y=4+3y$$

दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x+2y-3y=4$$

-y प्राप्त गर्नको लागि 2y र -3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x-y=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8-y=2-2y+3x$$

दुबै छेउहरूमा 2y थप्नुहोस्।

$$8-y+2y=2+3x$$

y प्राप्त गर्नको लागि -y र 2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$8+y=2+3x$$

दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$8+y-3x=2$$

दुवै छेउबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=2-8$$

-6 प्राप्त गर्नको लागि 8 बाट 2 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=-6$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x+3y=-12 बाट -3x+y=-6 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$3y-y=-12+6$$

-y मा 3y जोड्नुहोस्

$$2y=-12+6$$

6 मा -12 जोड्नुहोस्

$$2y=-6$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-3$$

-3x+y=-6 मा y लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x-3=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$-3x=-3$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-3$$