समाधान {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$m+n=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट n घटाउनुहोस्।

$$m=-n-3$$

-n-3 लाई m ले अर्को समीकरण -3m+2n=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

-3 लाई -n-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3n+9+2n=1$$

2n मा 3n जोड्नुहोस्

$$5n+9=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$5n=-8$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-\frac{8}{5}$$

m=-n-3 मा n लाई -\frac{8}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

-1 लाई -\frac{8}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=\frac{8}{5}-3$$

\frac{8}{5} मा -3 जोड्नुहोस्

$$m=-\frac{7}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

m र -3m लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3m-3n=9 बाट -3m+2n=1 घटाउनुहोस्।

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

3m मा -3m जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3m र 3m राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3n-2n=9-1$$

-2n मा -3n जोड्नुहोस्

$$-5n=9-1$$

-1 मा 9 जोड्नुहोस्

$$-5n=8$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-\frac{8}{5}$$

-3m+2n=1 मा n लाई -\frac{8}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

2 लाई -\frac{8}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{16}{5} जोड्नुहोस्।

$$-3m=\frac{21}{5}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=-\frac{7}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$