समाधान {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x-8y=-12$$

समीकरणको दुबैतिर 8y जोड्नुहोस्।

$$7x=8y-12$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

\frac{1}{7} लाई 8y-12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

\frac{8y-12}{7} लाई x ले अर्को समीकरण -4x+2y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

-4 लाई \frac{8y-12}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

2y मा -\frac{32y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{48}{7} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{18}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{3}{2}$$

x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7} मा y लाई \frac{3}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{8}{7} लाई \frac{3}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{12-12}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{12}{7} लाई \frac{12}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

7x र -4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -28x+32y=48 बाट -28x+14y=21 घटाउनुहोस्।

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

28x मा -28x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -28x र 28x राशी रद्द हुन्छन्।

$$32y-14y=48-21$$

-14y मा 32y जोड्नुहोस्

$$18y=48-21$$

-21 मा 48 जोड्नुहोस्

$$18y=27$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{3}{2}$$

-4x+2y=3 मा y लाई \frac{3}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

2 लाई \frac{3}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x+3=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-4x=0$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$