समाधान {l}{4x-7y=10}{-3x+2y=-9}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 7 y = 10 }\\{ - 3 x + 2 y = - 9 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13} \approx 3.307692308$$

$$y=\frac{6}{13}\approx 0.461538462$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-7y=10$$

समीकरणको दुबैतिर 7y जोड्नुहोस्।

$$4x=7y+10$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+10\right)$$

\frac{1}{4} लाई 7y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}$$

\frac{7y}{4}+\frac{5}{2} लाई x ले अर्को समीकरण -3x+2y=-9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=-9$$

-3 लाई \frac{7y}{4}+\frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{21}{4}y-\frac{15}{2}+2y=-9$$

2y मा -\frac{21y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{13}{4}y-\frac{15}{2}=-9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15}{2} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{3}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{13}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{6}{13}$$

x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2} मा y लाई \frac{6}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{7}{4}\times \frac{6}{13}+\frac{5}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{7}{4} लाई \frac{6}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{21}{26}+\frac{5}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{2} लाई \frac{21}{26} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{43}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{3}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 10-\frac{7}{13}\left(-9\right)\\-\frac{3}{13}\times 10-\frac{4}{13}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{13}\\\frac{6}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

4x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\times 4x-3\left(-7\right)y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 2y=4\left(-9\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-12x+21y=-30,-12x+8y=-36$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -12x+21y=-30 बाट -12x+8y=-36 घटाउनुहोस्।

$$-12x+12x+21y-8y=-30+36$$

12x मा -12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -12x र 12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$21y-8y=-30+36$$

-8y मा 21y जोड्नुहोस्

$$13y=-30+36$$

36 मा -30 जोड्नुहोस्

$$13y=6$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{6}{13}$$

-3x+2y=-9 मा y लाई \frac{6}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x+2\times \frac{6}{13}=-9$$

2 लाई \frac{6}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x+\frac{12}{13}=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12}{13} घटाउनुहोस्।

$$-3x=-\frac{129}{13}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{43}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$