समाधान {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-2y=13$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$4x=2y+13$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

\frac{1}{4} लाई 2y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

\frac{y}{2}+\frac{13}{4} लाई x ले अर्को समीकरण -2x+2y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

-2 लाई \frac{y}{2}+\frac{13}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

2y मा -y जोड्नुहोस्

$$y-\frac{13}{2}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{2} जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{15}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4} मा y लाई \frac{15}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{2} लाई \frac{15}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{15+13}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{13}{4} लाई \frac{15}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

4x र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -8x+4y=-26 बाट -8x+8y=4 घटाउनुहोस्।

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

8x मा -8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -8x र 8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y-8y=-26-4$$

-8y मा 4y जोड्नुहोस्

$$-4y=-26-4$$

-4 मा -26 जोड्नुहोस्

$$-4y=-30$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{15}{2}$$

-2x+2y=1 मा y लाई \frac{15}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

2 लाई \frac{15}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x+15=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$-2x=-14$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$