समाधान {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$12x-4y=-4$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$12x=4y-4$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

\frac{1}{12} लाई -4+4y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

\frac{-1+y}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+8y=17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

3 लाई \frac{-1+y}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y-1+8y=17$$

8y मा y जोड्नुहोस्

$$9y-1=17$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$9y=18$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2-1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{3} लाई \frac{2}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

12x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

सरल गर्नुहोस्।

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 36x-12y=-12 बाट 36x+96y=204 घटाउनुहोस्।

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

-36x मा 36x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 36x र -36x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-96y=-12-204$$

-96y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-108y=-12-204$$

-204 मा -12 जोड्नुहोस्

$$-108y=-216$$

दुबैतिर -108 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=2$$

3x+8y=17 मा y लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+8\times 2=17$$

8 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+16=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16 घटाउनुहोस्।

$$3x=1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{3},y=2$$