समाधान {l}{-7x-y=13}{8x+y=-14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 7 x - y = 13 }\\{ 8 x + y = - 14 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=-6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7x-y=13,8x+y=-14$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-7x-y=13$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$-7x=y+13$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{7}\left(y+13\right)$$

-\frac{1}{7} लाई y+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{13}{7}$$

\frac{-y-13}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 8x+y=-14 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{1}{7}y-\frac{13}{7}\right)+y=-14$$

8 लाई \frac{-y-13}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{7}y-\frac{104}{7}+y=-14$$

y मा -\frac{8y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{7}y-\frac{104}{7}=-14$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{104}{7} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{1}{7}y=\frac{6}{7}$$

दुबैतिर -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{7}y-\frac{13}{7} मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{7}\left(-6\right)-\frac{13}{7}$$

-\frac{1}{7} लाई -6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{6-13}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{13}{7} लाई \frac{6}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-7x-y=13,8x+y=-14$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-14\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-1\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-8\right)}&-\frac{-1}{-7-\left(-8\right)}\\-\frac{8}{-7-\left(-8\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-8&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13-14\\-8\times 13-7\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=-6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-7x-y=13,8x+y=-14$$

-7x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\left(-7\right)x+8\left(-1\right)y=8\times 13,-7\times 8x-7y=-7\left(-14\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-56x-8y=104,-56x-7y=98$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -56x-8y=104 बाट -56x-7y=98 घटाउनुहोस्।

$$-56x+56x-8y+7y=104-98$$

56x मा -56x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -56x र 56x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8y+7y=104-98$$

7y मा -8y जोड्नुहोस्

$$-y=104-98$$

-98 मा 104 जोड्नुहोस्

$$-y=6$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-6$$

8x+y=-14 मा y लाई -6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x-6=-14$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$8x=-8$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=-6$$