समाधान {r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=7$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$x-1-y=1$$

दुबै छेउहरूमा 1 थप्नुहोस्।

$$x-y=1+1$$

2 प्राप्त गर्नको लागि 1 र 1 जोड्नुहोस्।

$$x-y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई y-1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2y-2=x+1$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$2y-2-x=1$$

दुबै छेउहरूमा 2 थप्नुहोस्।

$$2y-x=1+2$$

3 प्राप्त गर्नको लागि 1 र 2 जोड्नुहोस्।

$$2y-x=3$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-y=2,-x+2y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-y=2$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$x=y+2$$

y+2 लाई x ले अर्को समीकरण -x+2y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

-1 लाई y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-2+2y=3$$

2y मा -y जोड्नुहोस्

$$y-2=3$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$y=5$$

x=y+2 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=5+2$$

5 मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=7,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$x-1-y=1$$

दुबै छेउहरूमा 1 थप्नुहोस्।

$$x-y=1+1$$

2 प्राप्त गर्नको लागि 1 र 1 जोड्नुहोस्।

$$x-y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई y-1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2y-2=x+1$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$2y-2-x=1$$

दुबै छेउहरूमा 2 थप्नुहोस्।

$$2y-x=1+2$$

3 प्राप्त गर्नको लागि 1 र 2 जोड्नुहोस्।

$$2y-x=3$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-y=2,-x+2y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=7,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$x-1-y=1$$

दुबै छेउहरूमा 1 थप्नुहोस्।

$$x-y=1+1$$

2 प्राप्त गर्नको लागि 1 र 1 जोड्नुहोस्।

$$x-y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई y-1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2y-2=x+1$$

दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$2y-2-x=1$$

दुबै छेउहरूमा 2 थप्नुहोस्।

$$2y-x=1+2$$

3 प्राप्त गर्नको लागि 1 र 2 जोड्नुहोस्।

$$2y-x=3$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-y=2,-x+2y=3$$

x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -x+y=-2 बाट -x+2y=3 घटाउनुहोस्।

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

x मा -x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -x र x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y-2y=-2-3$$

-2y मा y जोड्नुहोस्

$$-y=-2-3$$

-3 मा -2 जोड्नुहोस्

$$-y=-5$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

-x+2y=3 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+2\times 5=3$$

2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+10=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$-x=-7$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=7,y=5$$