समाधान {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

d, q को लागि हल गर्नुहोस्

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको d लाई अलग गरी d का लागि हल गर्नुहोस्।

$$d+q=40$$

समीकरणको दुबैतिरबाट q घटाउनुहोस्।

$$d=-q+40$$

-q+40 लाई d ले अर्को समीकरण 10d+0.25q=5.8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

10 लाई -q+40 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

\frac{q}{4} मा -10q जोड्नुहोस्

$$-9.75q+400=5.8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 400 घटाउनुहोस्।

$$-9.75q=-394.2$$

समीकरणको दुबैतिर -9.75 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$q=\frac{2628}{65}$$

d=-q+40 मा q लाई \frac{2628}{65} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले d लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

-\frac{2628}{65} मा 40 जोड्नुहोस्

$$d=-\frac{28}{65}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू d र q लाई ता्नुहोस्।

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

d र 10d लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 10 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10d+10q=400 बाट 10d+0.25q=5.8 घटाउनुहोस्।

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

-10d मा 10d जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 10d र -10d राशी रद्द हुन्छन्।

$$10q-0.25q=400-5.8$$

-\frac{q}{4} मा 10q जोड्नुहोस्

$$9.75q=400-5.8$$

-5.8 मा 400 जोड्नुहोस्

$$9.75q=394.2$$

समीकरणको दुबैतिर 9.75 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$q=\frac{2628}{65}$$

10d+0.25q=5.8 मा q लाई \frac{2628}{65} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले d लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.25 लाई \frac{2628}{65} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{657}{65} घटाउनुहोस्।

$$10d=-\frac{56}{13}$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$d=-\frac{28}{65}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$