समाधान {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+2y=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$7x=-2y+24$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

\frac{1}{7} लाई -2y+24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

\frac{-2y+24}{7} लाई x ले अर्को समीकरण -8x+2y=-30 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

-8 लाई \frac{-2y+24}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

2y मा \frac{16y}{7} जोड्नुहोस्

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{192}{7} जोड्नुहोस्।

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{30}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} मा y लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{7} लाई -\frac{3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{24}{7} लाई \frac{6}{35} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 7x+2y=24 बाट -8x+2y=-30 घटाउनुहोस्।

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$7x+8x=24+30$$

8x मा 7x जोड्नुहोस्

$$15x=24+30$$

30 मा 24 जोड्नुहोस्

$$15x=54$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{18}{5}$$

-8x+2y=-30 मा x लाई \frac{18}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

-8 लाई \frac{18}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{144}{5} जोड्नुहोस्।

$$2y=-\frac{6}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$