समाधान {r}{6x+5y=23}{4x+y=13}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 5 y = 23 } \\ { 4 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+5y=23$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$6x=-5y+23$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+23\right)$$

\frac{1}{6} लाई -5y+23 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}$$

\frac{-5y+23}{6} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+y=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)+y=13$$

4 लाई \frac{-5y+23}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{10}{3}y+\frac{46}{3}+y=13$$

y मा -\frac{10y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{3}y+\frac{46}{3}=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{46}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{7}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=1$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{-5+23}{6}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{23}{6} लाई -\frac{5}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 4}&-\frac{5}{6-5\times 4}\\-\frac{4}{6-5\times 4}&\frac{6}{6-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 23+\frac{5}{14}\times 13\\\frac{2}{7}\times 23-\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

6x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 6x+4\times 5y=4\times 23,6\times 4x+6y=6\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24x+20y=92,24x+6y=78$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24x+20y=92 बाट 24x+6y=78 घटाउनुहोस्।

$$24x-24x+20y-6y=92-78$$

-24x मा 24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24x र -24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$20y-6y=92-78$$

-6y मा 20y जोड्नुहोस्

$$14y=92-78$$

-78 मा 92 जोड्नुहोस्

$$14y=14$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

4x+y=13 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+1=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$4x=12$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=1$$