समाधान {r}{5x-2y=-1}{x+4y=35}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = - 1 } \\ { x + 4 y = 35 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-2y=-1$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$5x=2y-1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(2y-1\right)$$

\frac{1}{5} लाई 2y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}$$

\frac{2y-1}{5} लाई x ले अर्को समीकरण x+4y=35 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}+4y=35$$

4y मा \frac{2y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{22}{5}y-\frac{1}{5}=35$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{22}{5}y=\frac{176}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{22}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=8$$

x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5} मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{5}\times 8-\frac{1}{5}$$

\frac{2}{5} लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{16-1}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{5} लाई \frac{16}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=8$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-1\right)+\frac{1}{11}\times 35\\-\frac{1}{22}\left(-1\right)+\frac{5}{22}\times 35\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=3,y=8$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

5x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-2y=-1,5x+5\times 4y=5\times 35$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5x-2y=-1,5x+20y=175$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5x-2y=-1 बाट 5x+20y=175 घटाउनुहोस्।

$$5x-5x-2y-20y=-1-175$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y-20y=-1-175$$

-20y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-22y=-1-175$$

-175 मा -1 जोड्नुहोस्

$$-22y=-176$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

x+4y=35 मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+4\times 8=35$$

4 लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+32=35$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 32 घटाउनुहोस्।

$$x=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=3,y=8$$