समाधान {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-2y+4=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$4x-2y=-4$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$4x=2y-4$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

\frac{1}{4} लाई -4+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

\frac{y}{2}-1 लाई x ले अर्को समीकरण -4x+3y-3=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

-4 लाई \frac{y}{2}-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+4+3y-3=0$$

3y मा -2y जोड्नुहोस्

$$y+4-3=0$$

-3 मा 4 जोड्नुहोस्

$$y+1=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y-1 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

\frac{1}{2} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

-\frac{1}{2} मा -1 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{3}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

4x र -4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -16x+8y-16=0 बाट -16x+12y-12=0 घटाउनुहोस्।

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

16x मा -16x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -16x र 16x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8y-12y-16+12=0$$

-12y मा 8y जोड्नुहोस्

$$-4y-16+12=0$$

12 मा -16 जोड्नुहोस्

$$-4y-4=0$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$-4y=4$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

-4x+3y-3=0 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

3 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x-3-3=0$$

-3 मा -3 जोड्नुहोस्

$$-4x-6=0$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$-4x=6$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$