समाधान {r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=3$$

$$b=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-2a+3b=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3b घटाउनुहोस्।

$$-2a=-3b$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

-\frac{1}{2} लाई -3b पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{3}{2}b$$

\frac{3b}{2} लाई a ले अर्को समीकरण 2a+5b=16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

2 लाई \frac{3b}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3b+5b=16$$

5b मा 3b जोड्नुहोस्

$$8b=16$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=2$$

a=\frac{3}{2}b मा b लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

\frac{3}{2} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=3,b=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

-2a र 2a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4a+6b=0 बाट -4a-10b=-32 घटाउनुहोस्।

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

4a मा -4a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4a र 4a राशी रद्द हुन्छन्।

$$6b+10b=32$$

10b मा 6b जोड्नुहोस्

$$16b=32$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=2$$

2a+5b=16 मा b लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2a+5\times 2=16$$

5 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2a+10=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$2a=6$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=2$$