समाधान {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

y, p को लागि हल गर्नुहोस्

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 7.5p घटाउनुहोस्।

$$y-7.5p=45$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 0.6p थप्नुहोस्।

$$y+0.6p=300$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-7.5p=45$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15p}{2} जोड्नुहोस्।

$$y=7.5p+45$$

\frac{15p}{2}+45 लाई y ले अर्को समीकरण y+0.6p=300 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7.5p+45+0.6p=300$$

\frac{3p}{5} मा \frac{15p}{2} जोड्नुहोस्

$$8.1p+45=300$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 45 घटाउनुहोस्।

$$8.1p=255$$

समीकरणको दुबैतिर 8.1 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$p=\frac{850}{27}$$

y=7.5p+45 मा p लाई \frac{850}{27} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 7.5 लाई \frac{850}{27} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

\frac{2125}{9} मा 45 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{2530}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 7.5p घटाउनुहोस्।

$$y-7.5p=45$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 0.6p थप्नुहोस्।

$$y+0.6p=300$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र p लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 7.5p घटाउनुहोस्।

$$y-7.5p=45$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 0.6p थप्नुहोस्।

$$y+0.6p=300$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y-7.5p=45 बाट y+0.6p=300 घटाउनुहोस्।

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

-\frac{3p}{5} मा -\frac{15p}{2} जोड्नुहोस्

$$-8.1p=45-300$$

-300 मा 45 जोड्नुहोस्

$$-8.1p=-255$$

समीकरणको दुबैतिर -8.1 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$p=\frac{850}{27}$$

y+0.6p=300 मा p लाई \frac{850}{27} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.6 लाई \frac{850}{27} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y+\frac{170}{9}=300$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{170}{9} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{2530}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$