समाधान {l}{y=3x+5}{y=5x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 5 } \\ { y = 5 x + 6 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$y-3x=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 5x घटाउनुहोस्।

$$y-5x=6$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-3x=5,y-5x=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-3x=5$$

समीकरणको दुबैतिर 3x जोड्नुहोस्।

$$y=3x+5$$

3x+5 लाई y ले अर्को समीकरण y-5x=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+5-5x=6$$

-5x मा 3x जोड्नुहोस्

$$-2x+5=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$-2x=1$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}$$

y=3x+5 मा x लाई -\frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=3\left(-\frac{1}{2}\right)+5$$

3 लाई -\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{2}+5$$

-\frac{3}{2} मा 5 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{7}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{7}{2},x=-\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$y-3x=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 5x घटाउनुहोस्।

$$y-5x=6$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-3x=5,y-5x=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-3\right)}&\frac{1}{-5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\times 5-\frac{3}{2}\times 6\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{2},x=-\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$y-3x=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 5x घटाउनुहोस्।

$$y-5x=6$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-3x=5,y-5x=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y-3x=5 बाट y-5x=6 घटाउनुहोस्।

$$y-y-3x+5x=5-6$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3x+5x=5-6$$

5x मा -3x जोड्नुहोस्

$$2x=5-6$$

-6 मा 5 जोड्नुहोस्

$$2x=-1$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}$$

y-5x=6 मा x लाई -\frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y-5\left(-\frac{1}{2}\right)=6$$

-5 लाई -\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y+\frac{5}{2}=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{2} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{7}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{7}{2},x=-\frac{1}{2}$$