समाधान {l}{y=2x-2}{y=-5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 2 } \\ { y = - 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y = -\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7} \approx -1.142857143$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 5x थप्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-2x=-2$$

समीकरणको दुबैतिर 2x जोड्नुहोस्।

$$y=2x-2$$

-2+2x लाई y ले अर्को समीकरण y+5x=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-2+5x=1$$

5x मा 2x जोड्नुहोस्

$$7x-2=1$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$7x=3$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{7}$$

y=2x-2 मा x लाई \frac{3}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=2\times \frac{3}{7}-2$$

2 लाई \frac{3}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{6}{7}-2$$

\frac{6}{7} मा -2 जोड्नुहोस्

$$y=-\frac{8}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 5x थप्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=-2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 5x थप्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y-2x=-2 बाट y+5x=1 घटाउनुहोस्।

$$y-y-2x-5x=-2-1$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2x-5x=-2-1$$

-5x मा -2x जोड्नुहोस्

$$-7x=-2-1$$

-1 मा -2 जोड्नुहोस्

$$-7x=-3$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{7}$$

y+5x=1 मा x लाई \frac{3}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y+5\times \frac{3}{7}=1$$

5 लाई \frac{3}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y+\frac{15}{7}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{7} घटाउनुहोस्।

$$y=-\frac{8}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$