समाधान {l}{y=-3x-14}{-4x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x - 14 } \\ { - 4 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-7$$

$$y=7$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$y+3x=-14$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+3x=-14,-y-4x=21$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+3x=-14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$y=-3x-14$$

-3x-14 लाई y ले अर्को समीकरण -y-4x=21 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-3x-14\right)-4x=21$$

-1 लाई -3x-14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+14-4x=21$$

-4x मा 3x जोड्नुहोस्

$$-x+14=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14 घटाउनुहोस्।

$$-x=7$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-7$$

y=-3x-14 मा x लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-3\left(-7\right)-14$$

-3 लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=21-14$$

21 मा -14 जोड्नुहोस्

$$y=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=7,x=-7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$y+3x=-14$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+3x=-14,-y-4x=21$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\21\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\21\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-4-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-4-3\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&3\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\21\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\left(-14\right)+3\times 21\\-\left(-14\right)-21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=7,x=-7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$y+3x=-14$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+3x=-14,-y-4x=21$$

y र -y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-3x=-\left(-14\right),-y-4x=21$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-y-3x=14,-y-4x=21$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -y-3x=14 बाट -y-4x=21 घटाउनुहोस्।

$$-y+y-3x+4x=14-21$$

y मा -y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -y र y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3x+4x=14-21$$

4x मा -3x जोड्नुहोस्

$$x=14-21$$

-21 मा 14 जोड्नुहोस्

$$x=-7$$

-y-4x=21 मा x लाई -7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-y-4\left(-7\right)=21$$

-4 लाई -7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y+28=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 28 घटाउनुहोस्।

$$-y=-7$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=7,x=-7$$