समाधान {l}{y=-3x}{-7x-6y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x } \\ { - 7 x - 6 y = 0 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=0$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$y+3x=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+3x=0,-6y-7x=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+3x=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3x घटाउनुहोस्।

$$y=-3x$$

-3x लाई y ले अर्को समीकरण -6y-7x=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6\left(-3\right)x-7x=0$$

-6 लाई -3x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$18x-7x=0$$

-7x मा 18x जोड्नुहोस्

$$11x=0$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

y=-3x मा x लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=0,x=0$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$y+3x=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+3x=0,-6y-7x=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{-7-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7-3\left(-6\right)}&\frac{1}{-7-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{6}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=0,x=0$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 3x थप्नुहोस्।

$$y+3x=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+3x=0,-6y-7x=0$$

y र -6y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-6y-6\times 3x=0,-6y-7x=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-6y-18x=0,-6y-7x=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -6y-18x=0 बाट -6y-7x=0 घटाउनुहोस्।

$$-6y+6y-18x+7x=0$$

6y मा -6y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -6y र 6y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-18x+7x=0$$

7x मा -18x जोड्नुहोस्

$$-11x=0$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

-6y-7x=0 मा x लाई 0 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-6y=0$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=0,x=0$$