समाधान {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=7$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2x थप्नुहोस्।

$$y+2x=13$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+2x=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y=-2x+13$$

-2x+13 लाई y ले अर्को समीकरण 8y+4x=20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

8 लाई -2x+13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-16x+104+4x=20$$

4x मा -16x जोड्नुहोस्

$$-12x+104=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 104 घटाउनुहोस्।

$$-12x=-84$$

दुबैतिर -12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

y=-2x+13 मा x लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-2\times 7+13$$

-2 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-14+13$$

-14 मा 13 जोड्नुहोस्

$$y=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-1,x=7$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2x थप्नुहोस्।

$$y+2x=13$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-1,x=7$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2x थप्नुहोस्।

$$y+2x=13$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

y र 8y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8y+16x=104 बाट 8y+4x=20 घटाउनुहोस्।

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

-8y मा 8y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8y र -8y राशी रद्द हुन्छन्।

$$16x-4x=104-20$$

-4x मा 16x जोड्नुहोस्

$$12x=104-20$$

-20 मा 104 जोड्नुहोस्

$$12x=84$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=7$$

8y+4x=20 मा x लाई 7 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8y+4\times 7=20$$

4 लाई 7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8y+28=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 28 घटाउनुहोस्।

$$8y=-8$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-1,x=7$$