समाधान {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=160$$

$$y=8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{x}{20} घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{x}{20}=0$$

समीकरणको दुबैतिर 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$20y-x=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 80+x लाई \frac{1}{30} ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{30}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$20y-x=0$$

समीकरणको दुबैतिर x जोड्नुहोस्।

$$20y=x$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{20}x$$

\frac{x}{20} लाई y ले अर्को समीकरण y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3} मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

-\frac{x}{30} मा \frac{x}{20} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

दुबैतिर 60 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=160$$

y=\frac{1}{20}x मा x लाई 160 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

\frac{1}{20} लाई 160 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=8,x=160$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{x}{20} घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{x}{20}=0$$

समीकरणको दुबैतिर 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$20y-x=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 80+x लाई \frac{1}{30} ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{30}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=8,x=160$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{x}{20} घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{x}{20}=0$$

समीकरणको दुबैतिर 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$20y-x=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 80+x लाई \frac{1}{30} ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

दुवै छेउबाट \frac{1}{30}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

20y र y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 20 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 20y-x=0 बाट 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} घटाउनुहोस्।

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

-20y मा 20y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 20y र -20y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

\frac{2x}{3} मा -x जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

दुबैतिर -3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=160$$

y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3} मा x लाई 160 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

-\frac{1}{30} लाई 160 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{16}{3} जोड्नुहोस्।

$$y=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=8,x=160$$