समाधान {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{3}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{9}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{x}{3} जोड्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

\frac{x}{3}+6 लाई y ले अर्को समीकरण y-\frac{1}{9}x=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

-\frac{x}{9} मा \frac{x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$\frac{2}{9}x=-7$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{63}{2}$$

y=\frac{1}{3}x+6 मा x लाई -\frac{63}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{3} लाई -\frac{63}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

-\frac{21}{2} मा 6 जोड्नुहोस्

$$y=-\frac{9}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{3}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{9}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{3}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{9}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y-\frac{1}{3}x=6 बाट y-\frac{1}{9}x=-1 घटाउनुहोस्।

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

\frac{x}{9} मा -\frac{x}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

1 मा 6 जोड्नुहोस्

$$-\frac{2}{9}x=7$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{2}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{63}{2}$$

y-\frac{1}{9}x=-1 मा x लाई -\frac{63}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{9} लाई -\frac{63}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{2} घटाउनुहोस्।

$$y=-\frac{9}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$