समाधान {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+4x-6=0$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$y+4x=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y=-4x+6$$

-4x+6 लाई y ले अर्को समीकरण -y+3x=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

-1 लाई -4x+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-6+3x=7$$

3x मा 4x जोड्नुहोस्

$$7x-6=7$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$7x=13$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{7}$$

y=-4x+6 मा x लाई \frac{13}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

-4 लाई \frac{13}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

-\frac{52}{7} मा 6 जोड्नुहोस्

$$y=-\frac{10}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

y र -y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -y-4x+6=0 बाट -y+3x=7 घटाउनुहोस्।

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

y मा -y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -y र y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-4x-3x+6=-7$$

-3x मा -4x जोड्नुहोस्

$$-7x+6=-7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-7x=-13$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{7}$$

-y+3x=7 मा x लाई \frac{13}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

3 लाई \frac{13}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{39}{7} घटाउनुहोस्।

$$-y=\frac{10}{7}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{10}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$