समाधान {l}{x-3y=11}{11y+4x=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-3y=11$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$x=3y+11$$

3y+11 लाई x ले अर्को समीकरण 4x+11y=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

4 लाई 3y+11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12y+44+11y=12$$

11y मा 12y जोड्नुहोस्

$$23y+44=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 44 घटाउनुहोस्।

$$23y=-32$$

दुबैतिर 23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{32}{23}$$

x=3y+11 मा y लाई -\frac{32}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

3 लाई -\frac{32}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

-\frac{96}{23} मा 11 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{157}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4x-12y=44 बाट 4x+11y=12 घटाउनुहोस्।

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

-4x मा 4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4x र -4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-11y=44-12$$

-11y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-23y=44-12$$

-12 मा 44 जोड्नुहोस्

$$-23y=32$$

दुबैतिर -23 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{32}{23}$$

4x+11y=12 मा y लाई -\frac{32}{23} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

11 लाई -\frac{32}{23} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{352}{23} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{628}{23}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{157}{23}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$