समाधान {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-3y+9=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$x-3y=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$x=3y-9$$

-9+3y लाई x ले अर्को समीकरण 3x-2y+1=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

3 लाई -9+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9y-27-2y+1=0$$

-2y मा 9y जोड्नुहोस्

$$7y-27+1=0$$

1 मा -27 जोड्नुहोस्

$$7y-26=0$$

समीकरणको दुबैतिर 26 जोड्नुहोस्।

$$7y=26$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{26}{7}$$

x=3y-9 मा y लाई \frac{26}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

3 लाई \frac{26}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{78}{7}-9$$

\frac{78}{7} मा -9 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{15}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3x-9y+27=0 बाट 3x-2y+1=0 घटाउनुहोस्।

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

-3x मा 3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3x र -3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-9y+2y+27-1=0$$

2y मा -9y जोड्नुहोस्

$$-7y+27-1=0$$

-1 मा 27 जोड्नुहोस्

$$-7y+26=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 26 घटाउनुहोस्।

$$-7y=-26$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{26}{7}$$

3x-2y+1=0 मा y लाई \frac{26}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

-2 लाई \frac{26}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

1 मा -\frac{52}{7} जोड्नुहोस्

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{45}{7} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{45}{7}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$