समाधान {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+500$$

-y+500 लाई x ले अर्को समीकरण 25x+35y=1450 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

25 लाई -y+500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-25y+12500+35y=1450$$

35y मा -25y जोड्नुहोस्

$$10y+12500=1450$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12500 घटाउनुहोस्।

$$10y=-11050$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1105$$

x=-y+500 मा y लाई -1105 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

-1 लाई -1105 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=1105+500$$

1105 मा 500 जोड्नुहोस्

$$x=1605$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1605,y=-1105$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1605,y=-1105$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x र 25x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 25 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

सरल गर्नुहोस्।

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 25x+25y=12500 बाट 25x+35y=1450 घटाउनुहोस्।

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

-25x मा 25x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 25x र -25x राशी रद्द हुन्छन्।

$$25y-35y=12500-1450$$

-35y मा 25y जोड्नुहोस्

$$-10y=12500-1450$$

-1450 मा 12500 जोड्नुहोस्

$$-10y=11050$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1105$$

25x+35y=1450 मा y लाई -1105 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

35 लाई -1105 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$25x-38675=1450$$

समीकरणको दुबैतिर 38675 जोड्नुहोस्।

$$25x=40125$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1605$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1605,y=-1105$$